B-dot ile manyetik dönü sönümleme: bir 1U ile bir 1P karşılaştırması

Ayrılma sonrası dönü nasıl söner ve yasa neden yörünge hızının iki katı civarında durur?

Yazar: nadir lab.
Yayım: 1 Eylül 2026
Okuma süresi: 8 dk
Düzey: Akademik
Etiketler: ADCS
B-dot
Benzetim
Manyetik tork çubuğu
PocketQube
CubeSat

Özet

Küçük bir uydunun ayrılmadan sonraki ilk işi, dağıtıcının kazandırdığı açısal hızı yok etmektir. Yalnızca bir manyetometre ve manyetik tork çubukları gerektiren B-dot yasasını türetiyor, dönme enerjisini neden asla artıramayacağını gösteriyor ve eğik dipol alanlı 500 km Güneş eşzamanlı bir yörüngede rijit cisim dönü sönümlemesini benzetiyoruz. Yaklaşık 9,6°/s’den başlayarak 0,05 A·m² bobinli bir 1U birkaç dakikada 1°/s’nin altına inerken, 0,005 A·m² kart bobinli bir 1P yaklaşık bir yörünge sürer; her ikisi de yörünge hızının iki katı mertebesinde bir artık hıza yakınsar. Bir uçuş kodu taslağı ve PocketQube’ler için tasarım kurallarıyla bitiriyoruz.

İçindekiler

Ayrılmadan sonra

Bir dağıtıcının yayı bir CubeSat’i ya da PocketQube’ü dışarı ittiğinde kuvvet hiçbir zaman tam olarak kütle merkezinden geçmez ve raylar arasında sürtünme farklıdır; uydu bu yüzden genellikle saniyede birkaç ile birkaç on derece arasında bir açısal hızla ayrılır. PocketQube’ler için 180°/s’ye varan başlangıç hızları ve 5°/s’nin altında bir hedef tasarım ölçütü olarak önerilmiştir[1]; POQUITO, kartlarına basılmış manyetik tork çubuklarıyla 20°/s’den bir yörünge içinde sönümlendi[2]. Güneş’e yönelimden antenlere ve kameralara kadar hiçbir yönlendirme görevi dönü bitmeden başlayamaz.

Manyetik tork

Bir manyetik tork çubuğu (magnetorquer), bobinindeki akımdan bir manyetik dipol $m$ üretir. Yer manyetik alanı $B$ içinde dipole bir tork etkir[3]:

τ = m \times B

500 km’de alan ekvator üzerinde yaklaşık 25 µT, kutuplar üzerinde yaklaşık 50 µT’dir. Torkun her zaman $B$ ’ye dik olması manyetik kontrolün temel sınırlamasıdır: herhangi bir anda alan doğrultusundaki bileşen kontrol edilemez. Eksik eksen, alan doğrultusu yörünge boyunca döndükçe zamanla geri kazanılır.

B-dot yasası

Uydu hızlı dönerken gövde çerçevesinde ölçülen alanın değişimi esas olarak kendi dönüşünden gelir:

\dot{B}_{B} \approx - ω \times B_{B}

yasası bu türevin tersi yönünde bir dipol komut eder:

m = - k \dot{B}_{B}, k > 0

Yasanın neden çalıştığı, dipolü tork ifadesine koyup dönme kinetik enerjisinin değişim hızını aldığımızda ortaya çıkar. $(a \times b) \times c = b (a \cdot c) - a (b \cdot c)$ özdeşliğiyle:

τ = k (ω \times B) \times B = k [B (ω \cdot B) - ω ∥ B ∥^{2}]

\frac{d T}{d t} = ω \cdot τ = - k ∥ B ∥^{2} ∥ ω_{⊥} ∥^{2} \leq 0

Burada $ω_{⊥}$ açısal hızın alana dik bileşenidir. Enerji hiçbir zaman artmaz; yalnızca hız alana paralelken azalmayı bırakır, yörünge hareketi ise bunun uzun sürmesine izin vermez. Avanzini ve Giulietti bu davranışı ayrıntılı olarak çözümledi ve kazancın yörünge hızından ve en küçük eylemsizlik momentinden nasıl seçilebileceğini gösterdi[4].

Yasa neden sıfıra ulaşmaz?

Hız düştükçe $\dot{B}_{B} \approx - ω \times B_{B}$ yaklaşımı geçerliliğini yitirir: alanın eylemsiz çerçevedeki kendi dönüşü artık ihmal edilemez. Kutupsal bir yörüngede dipol alanının doğrultusu yörünge başına yaklaşık iki tur döner. B-dot bu durumda gövdeyi alanı izlemeye zorlar ve hız yörünge hızı $n$ ’nin iki katı civarına oturur.11500 km’de $n = 360°/94, 6 dk \approx 0, 063$ °/s, dolayısıyla $2 n \approx 0, 13$ °/s’dir. Benzetimde üç yörünge sonra görülen 0,18–0,19°/s aynı mertebededir.

Benzetim kurulumu

Aralığın iki ucunu karşılaştırıyoruz: eksen başına 0,05 A·m² dipollü 1,33 kg’lık bir 1U ve kartlara sarılmış bobinleri 0,005 A·m²’ye ulaşan 0,25 kg’lık bir 1P. İkisi de (6, −5, 5,5)°/s, yani yaklaşık 9,6°/s ile başlıyor.

Yörünge: 500 km dairesel, 97,4° eğiklik (Güneş eşzamanlı).
Alan modeli: 9,4° eğik ve Dünya’yla birlikte dönen dipol; $B_{0} = 3, 12 \times 1 0^{- 5}$ T.
Eylemsizlik: homojen küp yaklaşımı $I = m s^{2} /6$ ; 1U için yaklaşık 2,2 × 10⁻³ kg·m², 1P için 1,0 × 10⁻⁴ kg·m².
Kontrol: 1 Hz örnekleme, sonlu farklarla $\dot{B}$ , eksen başına doyum.
İntegrasyon: kuaterniyon kinematiği ve Euler denklemleri, dördüncü mertebe Runge–Kutta, 0,5 s adım.
İhmal edilenler: çekim gradyanı, aerodinamik ve torkları, algılayıcı gürültüsü.

Sonuçlar

B-dot ile dönü sönümleme: açısal hız (logaritmik eksen) — Aynı başlangıç hızından (yaklaşık 9,6°/s) B-dot ile dönü sönümleme: 500 km, i = 97,4°, eğik dipol alanı, 1 Hz kontrol, eksen başına doyum. Eksen, 94,6 dk’lık üç yörüngeyi kapsar.

Zaman (dk)	1U CubeSat, 0,05 A·m² bobinler	1P PocketQube, 0,005 A·m² bobinler
0	9,55	9,55
5	1,10	2,19
10	0,69	2,05
30	0,60	1,90
60	0,20	1,14
90	0,20	0,96
120	0,10	0,63
180	0,13	0,36
240	0,17	0,20

B-dot benzetim özeti

Senaryo	Eylemsizlik (kg·m²)	En büyük dipol (A·m²)	Kazanç k (A·m²·s/T)	\|ω\| < 1°/s’ye süre	Üç yörünge sonra \|ω\|
1U CubeSat, 0,05 A·m² bobinler	2,30 × 10⁻³	0,05	30.000	5,4 dk	0,18 °/s
1P PocketQube, 0,005 A·m² bobinler	1,05 × 10⁻⁴	0,005	3.000	87,8 dk	0,19 °/s

Karşılaştırma için yörünge açısal hızı n = 0,0634 °/s, 2n = 0,127 °/s.

1U’daki ilk dik düşüş, dipolün doyumda olduğu evredir: tork en büyük değerinde kalır ve hız birkaç dakikada 1°/s’nin altına iner. 1P’de tork-eylemsizlik oranı benzerdir; ancak kart bobinlerinin küçük dipolü ve onlar için seçilen kazanç aynı eşiği yaklaşık bir yörüngeye uzatır. İki eğrideki dalgalanma, alanın gövdeye göre değişen doğrultusundan gelir: hız alana paralel düştüğü her an sönüm yavaşlar.

Boyut neden beklenenden az önemli?

Homojen bir küpün asal eylemsizlik momenti $I = M L^{2} /6$ boyutun beşinci kuvvetiyle ölçeklenir; bu yüzden bir PocketQube, bir 1U’nun eylemsizliğinin yalnızca %3–5’ine sahiptir[5]. Aynı teknolojideki bir bobin dipolü çevrelediği alan ile sarım sayısının çarpımıyla ölçeklenir; dolayısıyla eylemsizlikten daha yavaş küçülür. Dipolü on kat küçük bir 1P’nin yine de bir yörünge içinde sönümlenmesinin nedeni budur.

Ayrık bir uygulama

Uçuş yazılımında B-dot birkaç satırlık bir döngüdür. Çalışan manyetik tork çubukları manyetometreyi bozduğu için ölçüm ve eyleme sırayla yapılır.

#include <math.h>

#define DT_S    1.0f    /* kontrol periyodu [s] */
#define K_BDOT  3.0e4f  /* kazanç [A·m²·s/T] */
#define M_MAX   0.05f   /* eksen başına en büyük dipol [A·m²] */

static float b_prev[3];
static int has_prev = 0;

/* b: gövde çerçevesinde manyetometre okuması [T]
   m: manyetik tork çubuklarına komut edilen dipol [A·m²] */
void bdot_step(const float b[3], float m[3])
{
    for (int i = 0; i < 3; i++) {
        float bdot = has_prev ? (b[i] - b_prev[i]) / DT_S : 0.0f;
        m[i] = fmaxf(-M_MAX, fminf(M_MAX, -K_BDOT * bdot));
        b_prev[i] = b[i];
    }
    has_prev = 1;
}

Örnekleme hızı başlangıç hızına uygun olmalıdır. 180°/s’de alan gövde çerçevesinde saniyede yarım tur döner ve 1 Hz’lik bir sonlu fark anlamını yitirir. Yüksek başlangıç hızları bekleyen PocketQube’ler, her ölçüm penceresinde bobinler kapatılan 5–10 Hz’lik bir döngüye ihtiyaç duyar.

Yönelim kipleri

stateDiagram-v2
  state "Bekleme" as Wait
  state "Dönü sönümleme (B-dot)" as Detumble
  state "Güneş yakalama" as Sun
  state "Nominal" as Nominal
  state "Güvenli kip" as Safe
  [*] --> Wait : ayrılma
  Wait --> Detumble : zamanlayıcı doldu
  Detumble --> Sun : |ω| ≤ 1°/s
  Sun --> Detumble : |ω| ≥ 3°/s
  Sun --> Nominal : Güneş algılayıcısı kilitlendi
  Nominal --> Safe : düşük batarya
  Safe --> Detumble : batarya toparlandı

Dönü sönümlemeden çıkış ve yeniden giriş için farklı eşikler, burada 1 ve 3°/s, kiplerin sürekli gidip gelmesini önleyen bir histerezis sağlar.

Tasarım kuralları

Dipolü ve eylemsizliği birlikte boyutlandırın. Sönümleme süresini en büyük torkun açısal momentuma oranı belirler; bir 1P’deki kart bobinleri saatler değil, bir yörünge mertebesinde süreler verir.
Doyum evresini kazanç belirler. Fazla büyük bir kazanç bobinleri doyumda tutar ve yasayı aç-kapa kontrole indirger; fazla küçük bir kazanç mevcut torku boşa harcar.
Manyetometreyi özenle yerleştirin ve kalibre edin. Batarya akımları ve bobinler okumaya sabit bir sapma ekler. Türev alma bunun çoğunu giderir, ama doyum ve gürültü davranışını yine etkiler. Pasif kararlı tasarımlardaki gibi kalıcı bir mıknatısın yakınında sapma algılayıcının ölçüm aralığını aşabilir[6].
Dönü sönümleme ilk evredir. Hassas yönlendirme, ikinci bir denetleyicinin yönettiği Güneş algılayıcıları, jiroskoplar ve gerekirse tepki tekerleri ister.