Magnetische Entdrallung mit B-dot: 1U-CubeSat und 1P-PocketQube im Vergleich

Wie die Rotationsrate nach dem Ausstoß abklingt und warum sich das Regelgesetz nahe der doppelten Umlaufrate einpendelt

Autorin: nadir lab.
Veröffentlicht: 1. September 2026
Lesezeit: 9 min
Niveau: Akademisch
Schlagwörter: ADCS
B-dot
Simulation
Magnetorquer
PocketQube
CubeSat

Zusammenfassung

Die erste Aufgabe eines Kleinsatelliten nach dem Ausstoß besteht darin, die vom Deployer aufgeprägte Drehrate abzubauen. Wir leiten das B-dot-Regelgesetz her, das lediglich ein Magnetometer und Magnetorquer benötigt, zeigen, warum es die Rotationsenergie niemals erhöhen kann, und simulieren die Starrkörper-Entdrallung in einem sonnensynchronen 500-km-Orbit mit geneigtem Dipolfeld. Ausgehend von rund 9,6°/s fällt ein 1U mit 0,05-A·m²-Spulen innerhalb weniger Minuten unter 1°/s, während ein 1P mit 0,005-A·m²-Leiterplattenspulen etwa einen Umlauf benötigt; beide konvergieren gegen eine Restdrehrate in der Größenordnung der doppelten Umlaufrate. Abschließend geben wir eine Flugsoftware-Skizze und Entwurfsregeln für PocketQubes.

Inhalt

Nach dem Ausstoß

Wenn die Feder eines Deployers einen CubeSat oder PocketQube ausstößt, verläuft die Kraftwirkungslinie nie exakt durch den Massenmittelpunkt, und die Reibung entlang der Führungsschienen ist unterschiedlich. Der Satellit verlässt den Ausstoßmechanismus daher mit einer Anfangsdrehrate, die typischerweise zwischen einigen wenigen und mehreren Dutzend Grad pro Sekunde liegt. Für PocketQubes wurden Anfangsdrehraten von bis zu 180°/s und ein Zielwert unter 5°/s als Entwurfskriterien vorgeschlagen[1]; POQUITO baute seine Drehrate von 20°/s mithilfe in die Leiterplatten integrierter Magnetorquer innerhalb eines einzigen Umlaufs ab[2]. Keine Ausrichtungsaufgabe – von der Sonnenakquisition bis zum Ausrichten von Antennen und Kameras – kann beginnen, bevor diese Rotation abgebaut ist.

Magnetisches Drehmoment

Ein Magnetorquer erzeugt über den Strom in seiner Spule ein magnetisches Dipolmoment $m$ . Im Erdmagnetfeld $B$ erfährt dieser Dipol ein Drehmoment[3]

τ = m \times B

In 500 km Höhe beträgt die magnetische Flussdichte etwa 25 µT über dem Äquator und rund 50 µT über den Polen. Dass das Drehmoment stets senkrecht auf $B$ steht, bildet die grundlegende Einschränkung jeder magnetischen Lageregelung: Zu keinem Zeitpunkt lässt sich die Komponente parallel zum Magnetfeld direkt beeinflussen. Die fehlende Achse wird erst über die Zeit hinweg steuerbar, während sich die Feldrichtung entlang der Umlaufbahn dreht.

Das B-dot-Regelgesetz

Solange der Satellit schnell rotiert, resultiert die im körperfesten Koordinatensystem gemessene zeitliche Änderung des Magnetfelds hauptsächlich aus der Eigenrotation des Satelliten:

\dot{B}_{B} \approx - ω \times B_{B}

Das -Gesetz kommandiert ein Dipolmoment, das dieser zeitlichen Ableitung entgegengerichtet ist:

m = - k \dot{B}_{B}, k > 0

Warum dieses Gesetz funktioniert, zeigt sich, wenn man den Dipol in die Drehmomentgleichung einsetzt und die zeitliche Änderung der kinetischen Rotationsenergie bildet. Mit der Vektoridentität $(a \times b) \times c = b (a \cdot c) - a (b \cdot c)$ folgt:

τ = k (ω \times B) \times B = k [B (ω \cdot B) - ω ∥ B ∥^{2}]

\frac{d T}{d t} = ω \cdot τ = - k ∥ B ∥^{2} ∥ ω_{⊥} ∥^{2} \leq 0

wobei $ω_{⊥}$ die Komponente der Winkelgeschwindigkeit senkrecht zum Magnetfeld bezeichnet. Die Rotationsenergie nimmt niemals zu; ihre Abnahme setzt nur dann kurzzeitig aus, wenn die Drehachse exakt parallel zum Magnetfeld liegt – ein Zustand, der aufgrund der Bahnbewegung nicht andauern kann. Avanzini und Giulietti haben dieses Verhalten eingehend untersucht und gezeigt, wie sich die Verstärkung $k$ aus der mittleren Bahnbewegung und dem kleinsten Hauptträgheitsmoment bestimmen lässt[4].

Warum das Regelgesetz nicht bis auf null abregelt

Sinkt die Drehrate ab, so verliert die Näherung $\dot{B}_{B} \approx - ω \times B_{B}$ ihre Gültigkeit: Die Drehung des Erdmagnetfelds selbst im Inertialsystem ist dann nicht mehr vernachlässigbar. Auf einer polaren Umlaufbahn dreht sich der Richtungsvektor eines Dipolfelds pro Umlauf zweimal. B-dot versucht dann, den Satellitenkörper dem rotierenden Feld nachzuführen, sodass sich die Winkelgeschwindigkeit nahe der doppelten Bahnwinkelgeschwindigkeit $n$ einpendelt.11In 500 km Höhe gilt $n = 360°/94.6 min \approx 0.063$ °/s, also $2 n \approx 0.13$ °/s. Die in der Simulation nach drei Umläufen beobachteten 0,18–0,19°/s liegen in derselben Größenordnung.

Simulationsaufbau

Wir vergleichen zwei Eckpunkte des Größenspektrums: einen 1,33 kg schweren 1U-CubeSat mit 0,05 A·m² pro Achse und einen 0,25 kg schweren 1P-PocketQube, dessen in die Leiterplatten integrierte Spulen 0,005 A·m² erreichen. Beide starten bei $(6, - 5, 5.5)$ °/s, also einem Betrag von rund 9,6°/s.

Umlaufbahn: 500 km Kreisbahn, 97,4° Inklination (sonnensynchron).
Feldmodell: um 9,4° geneigter und mit der Erde rotierender Dipol; $B_{0} = 3.12 \times 1 0^{- 5}$ T.
Trägheitsmoment: Näherung als homogener Würfel $I = m s^{2} /6$ ; etwa $2.2 \times 1 0^{- 3} kg \cdot m^{2}$ für den 1U und $1.0 \times 1 0^{- 4} kg \cdot m^{2}$ für den 1P.
Regelung: 1 Hz Abtastrate, Rückwärtsdifferenzenquotient für $\dot{B}$ , achsenweise Sättigung.
Integration: Quaternionenkinematik und Eulersche Kreiselgleichungen, klassisches Runge-Kutta-Verfahren vierter Ordnung, Schrittweite 0,5 s.
Vernachlässigt: Gravitationsgradienten-, aerodynamische und Restdipol-Störmomente sowie Sensorrauschen.

Ergebnisse

B-dot-Entdrallung: Drehrate (logarithmische Achse) — B-dot-Entdrallung aus derselben Anfangsrate (ca. 9,6°/s) in 500 km Höhe, i = 97,4°, geneigtes Dipolfeld, 1-Hz-Regelung. Die Achse umfasst drei Umläufe zu je 94,6 min.

Zeit (min)	1U CubeSat, 0,05 A·m² Spulen	1P PocketQube, 0,005 A·m² Spulen
0	9,55	9,55
5	1,10	2,19
10	0,69	2,05
30	0,60	1,90
60	0,20	1,14
90	0,20	0,96
120	0,10	0,63
180	0,13	0,36
240	0,17	0,20

B-dot-Simulationsübersicht

Szenario	Trägheit (kg·m²)	Größter Dipol (A·m²)	Verstärkung k (A·m²·s/T)	Zeit bis \|ω\| < 1°/s	\|ω\| nach drei Umläufen
1U CubeSat, 0,05 A·m² Spulen	2,30 × 10⁻³	0,05	30.000	5,4 min	0,18 °/s
1P PocketQube, 0,005 A·m² Spulen	1,05 × 10⁻⁴	0,005	3.000	87,8 min	0,19 °/s

Zum Vergleich beträgt die Bahnrate n = 0,0634 °/s und 2n = 0,127 °/s.

Beim 1U entspricht der steile anfängliche Abfall der Phase, in der das kommandierte Dipolmoment in der Sättigung arbeitet: Das Stellmoment bleibt auf seinem Maximalwert, und die Drehrate fällt innerhalb weniger Minuten unter 1°/s. Beim 1P ist das Verhältnis von Drehmoment zu Trägheitsmoment ähnlich, doch das kleine Dipolmoment der Leiterplattenspulen und die dafür gewählte Verstärkung strecken das Erreichen derselben Schwelle auf rund einen Umlauf. Die Welligkeit beider Kurven rührt von der sich ändernden Richtung des Magnetfelds relativ zum Satellitenkörper her: Die Dämpfung verlangsamt sich immer dann, wenn der Drehratenvektor vorübergehend nahezu parallel zum Magnetfeld ausgerichtet ist.

Warum die Baugröße weniger ausmacht als erwartet

Das Hauptträgheitsmoment eines homogenen Würfels, $I = M L^{2} /6$ , skaliert bei konstanter Dichte mit der fünften Potenz der Kantenlänge; ein PocketQube besitzt daher nur 3–5 % des Trägheitsmoments eines 1U-CubeSats[5]. Das Dipolmoment einer Spule gleicher Technologie skaliert hingegen mit der umschlossenen Fläche mal der Windungszahl und schrumpft somit langsamer als das Trägheitsmoment. Aus diesem Grund wird ein 1P selbst mit einem zehnmal kleineren Dipolmoment noch innerhalb eines Umlaufs zuverlässig entdrallt.

Zeitdiskrete Implementierung

In der Flugsoftware besteht der B-dot-Regler aus einer Schleife von wenigen Codezeilen. Messung und Ansteuerung der Spulen wechseln sich dabei zeitlich ab, da bestromte Magnetorquer die Messung des Magnetometers verfälschen würden.

#include <math.h>

#define DT_S    1.0f    /* Regelperiode [s] */
#define K_BDOT  3.0e4f  /* Verstärkung [A·m²·s/T] */
#define M_MAX   0.05f   /* maximales Dipolmoment pro Achse [A·m²] */

static float b_prev[3];
static int has_prev = 0;

/* b: Magnetometermesswert im körperfesten System [T]
   m: kommandiertes Dipolmoment für die Magnetorquer [A·m²] */
void bdot_step(const float b[3], float m[3])
{
    for (int i = 0; i < 3; i++) {
        float bdot = has_prev ? (b[i] - b_prev[i]) / DT_S : 0.0f;
        m[i] = fmaxf(-M_MAX, fminf(M_MAX, -K_BDOT * bdot));
        b_prev[i] = b[i];
    }
    has_prev = 1;
}

Die Abtastrate muss zur erwarteten Anfangsdrehrate passen. Bei 180°/s dreht sich das Magnetfeld im körperfesten Koordinatensystem um eine halbe Umdrehung pro Sekunde, wodurch ein Differenzenquotient mit 1 Hz Abtastrate unbrauchbar wird. PocketQubes, bei denen hohe Ausstoßdrehraten zu erwarten sind, benötigen eine Regelschleife mit 5–10 Hz, wobei die Spulen während jedes Messfensters stromlos geschaltet werden.

Betriebsmodi der Lageregelung

stateDiagram-v2
  state "Wartephase" as Wait
  state "Entdrallung (B-dot)" as Detumble
  state "Sonnenakquisition" as Sun
  state "Nominalbetrieb" as Nominal
  state "Sicherheitsmodus" as Safe
  [*] --> Wait : Ausstoß
  Wait --> Detumble : Timer abgelaufen
  Detumble --> Sun : |ω| ≤ 1°/s
  Sun --> Detumble : |ω| ≥ 3°/s
  Sun --> Nominal : Sonnensensor eingerastet
  Nominal --> Safe : Unterspannung Batterie
  Safe --> Detumble : Batterie erholt

Unterschiedliche Schwellenwerte für das Verlassen und den Wiedereintritt in den Entdrallungsmodus – hier 1°/s und 3°/s – erzeugen eine Hysterese, die ein ständiges Hin- und Herschalten zwischen den Modi verhindert.

Entwurfsregeln

Dipolmoment und Trägheitsmoment gemeinsam auslegen. Die Entdrallungszeit wird durch das Verhältnis von maximalem Stellmoment zu anfänglichem Drehimpuls bestimmt; Leiterplattenspulen auf einem 1P-PocketQube führen auf Entdrallungszeiten in der Größenordnung eines Umlaufs, nicht mehrerer Stunden.
Die Verstärkung bestimmt die Sättigungsphase. Eine zu hohe Verstärkung hält die Spulen dauerhaft in der Sättigung und lässt das Gesetz zu einer reinen Zweipunktregelung (Bang-Bang) degenerieren; eine zu kleine Verstärkung verschenkt verfügbares Stellmoment.
Magnetometer sorgfältig platzieren und kalibrieren. Batterieströme und Spulen erzeugen einen konstanten Offset im Messsignal. Die zeitliche Ableitung eliminiert zwar den Großteil eines konstanten Offsets, beeinflusst aber dennoch das Sättigungs- und Rauschverhalten. In der Nähe eines Permanentmagneten – wie bei passiv magnetisch stabilisierten Entwürfen – kann das Störfeld den Messbereich des Sensors überschreiten[6].
Entdrallung ist nur die erste Phase. Eine präzise Ausrichtung erfordert Sonnensensoren, Gyroskope und gegebenenfalls Reaktionsräder unter einem nachgeschalteten Lageregler.