Störmomente, PMAC & B-Dot-Detumbling

Die Verkleinerung eines Satelliten von 1U (L = 10 cm) auf 1P (L = 5 cm) kehrt die klassische Rangfolge der Störmomente im niedrigen Erdorbit um. Das Gravitationsgradientenmoment T_g = (3μ / 2r³)·|ΔI|·sin 2θ skaliert über die Hauptträgheitsdifferenz mit L⁵ und fällt von 1U auf 1P um den Faktor 32 (auf ≈ 0,027 nN·m in 525 km Höhe für ΔI = 1,5 × 10⁻⁵ kg·m² – wirkungslos beim symmetrischen 1P-Würfel, aber genutzt bei schlanken 6P-Zellen wie STECCO), während aerodynamisches Moment T_a = ½·ρ·v²·C_D·A·l_cp (≈ 0,23 nN·m für das nackte Gehäuse auf 525 km bei moderater Sonnenaktivität, höher mit 171-mm-UHF-Monopol) und Strahlungsdruck T_srp = (S₀/c)·(1 + q)·A·l_sp (≈ 0,1 nN·m) mit L³ abnehmen.

Das parasitäre magnetische Dipolmoment T_m = m_res · B schrumpft dagegen kaum mit der Gehäusegröße (L⁰ bis L²), weil Batteriezellen, Stromschleifen und Schrauben nicht kubisch kleiner werden. Oberhalb von ~450 km übertrifft Restmagnetismus alle Umweltmomente um zwei Größenordnungen: Auf 525 km (äquatorial B ≈ 23 µT, polar B ≈ 47 µT) erzeugt ein unbudgetierter Restdipol m_res = 1,5 mA·m² bereits 65–75 nN·m (~47 nN·m je mA·m² über den Polen) und kippt eine passive Magnetausrichtung um Δθ = arctan(m_res,⊥ / m_PMAC).

Um m_res unter 0,5–1,0 mA·m² zu halten (und das statische 0,5-Gauß-Außenfeldlimit der CubeSat-Spezifikation einzuhalten), ist konsequente Layoutdisziplin nötig: Direkt unter den Zellsträngen zurückgeführte Solarpanel-Leiterbahnen löschen den 0,26-mA·m²-Dipol einer 150-mA-Randleiterschleife auf 42 × 42 mm aus, aluminiumlaminierte LiPo-Pouch-Zellen ersetzen ferromagnetische vernickelte 18650-Stahlbecher samt Reinnickel-Schweißfahnen, und Schrauben aus Ti-6Al-4V oder passiviertem A4-80 (316) sowie Messing-HF-Stecker ersetzen kaltverfestigten 304/A2-Stahl.

Eine passive magnetische Lageregelung (PMAC) richtet eine Körperachse ohne Energiebedarf, Sensorik oder Flugsoftware entlang des lokalen Erdmagnetfeldvektors B_⊕ aus (dessen Inklination tan I = 2·tan λ_m folgt und auf Polarbahnen zwei volle Drehungen pro Umlauf bewirkt) und schwingt ungedämpft mit der Librationsperiode T_lib = 2π·√(I / (m·B)). Eine zehnfache Rückstellreserve (k_m = 10) beim äquatorialen Minimalfeld B_min ≈ 23 µT (525 km) gemäß m ≥ k_m·T_dist / (B_min·sin θ_max) erfordert lediglich 0,015–0,030 A·m² gegen Luftwiderstand bzw. 0,02–0,10 A·m² inklusive Restdipolen.

Magnetform und Temperaturstabilität bestimmen das reale Flugmoment: Gedrungene AlNiCo-5-Würfel entmagnetisieren sich im eigenen Gegenfeld. Grizu-263A flog vier 8-mm-AlNiCo-5-Würfel (Entmagnetisierungsfaktor N = 1/3), die bei rund 0,12 T (~15 % der Remanenz) m ≈ 0,31 A·m² und 10–23 s Librationsperiode lieferten, während dieselbe Masse als schlanke 8 × 8 × 32-mm-Säule (N = 0,108) das Moment auf 0,91 A·m² verdreifacht; zudem vermeiden AlNiCo 5 und SmCo die ~12 %/100-K-Temperaturdrift von NdFeB.

Ein überdimensionierter Magnet im 50-mm-Würfel erzeugt gravierende Nahfeldkopplung, da der Abstand d zwischen Magnet und Hysteresestäben auf 20–35 mm schrumpft (gegenüber 60–150 mm in 1U–3U). Für einen orthogonalen Stab mit axialem Versatz δ zur Magnet-Mittelebene wächst das axiale Streufeldmaximum nach H_∥,max = 0,859·m·δ / [4π·(d² + δ²)²] ∝ m·δ / d⁴ – ein 25-facher Anstieg beim Schritt von d = 45 mm auf 20 mm. Bei d = 20 mm und δ = 1 mm treibt ein 0,31-A·m²-Magnet ≈ 130 A/m längs durch den Stab (sättigt weichmagnetische Legierungen; bei Delfi-C3 verlängerten blockierte Stäbe das Entdrallen von Stunden auf ~3 Monate) und übersteuert ±0,4–4,9-mT-MEMS-Magnetometer mit 3,8–7,6 mT Vorfeld – maßvolle Magnete und Mittelebenen-Montage (δ ≈ 0) sind daher Pflicht.

Hochpermeable Hysteresestäbe wandeln Rotationsenergie in Gitterwärme um, sobald das Taumeln B_⊕ längs ihrer Achse ummagnetisiert; typische Werkstoffe aus lib/physics/magnetics.ts sind 80-%-Ni–Fe HyMu-80 (Koerzitivfeldstärke H_c = 0,96 A/m, Sättigung J_s = 0,74 T; zwölf 0,2 × 0,2 × 33,5-mm-Stäbe flogen auf Grizu-263A), amorphes FeBSi-Band (H_c = 3,0 A/m, J_s = 1,56 T) oder kornorientiertes FeSi (H_c = 7,5 A/m, J_s = 2,0 T).

Da die relative Permeabilität μ_r ~ 10⁴–10⁵ erreicht, endliche Schlankheit L/D aber den zylindrischen Entmagnetisierungsfaktor N_d ≈ [1 + (4/√π)·(L/D)]⁻¹ erzwingt (N_d·μ_r ≫ 1), arbeitet das Innenfeld H_i = H_a − N_d·M im entmagnetisierungsbegrenzten Bereich: Die Spitzenpolarisation ist auf J_p = min[μ₀·(H_a − H_c) / N_d, J_s] gedeckelt, mit scheinbarer Sättigungsfeldstärke H_sat,app = N_d·J_s / μ₀. Dünne 0,04-g-FeBSi-Streifen dissipieren daher viermal mehr Energie pro Zyklus als 0,31-g-Rundstäbe; dank L⁵-Trägheitsskalierung (I_t = 1,1 × 10⁻⁴ kg·m²) bremst die /lab/pmac-1P-Referenz (45 mm³ Stabvolumen, H_c = 1,2 A/m, B_s = 0,75 T) 15 °/s in 0,93 Stunden bei 583 nN·m Rückstellmoment unter 10°.

Klingt die Drehrate ab, kollabiert die Hystereseschleife, sobald die Querfeldamplitude unter H_c fällt, und hinterlässt ein ungedämpftes Totband θ_db ≈ arcsin(H_c / H_⊥) (±3,7° für H_c = 1,2 A/m in H_⊥ = 18,5 A/m). Monografie SQ-R-002 betont zudem die Magnetostriktionsempfindlichkeit: Starrer Epoxidverguss erzeugt über 60 K rund 50–105 MPa Spannung und weitet H_c auf, sofern Stäbe nicht lose in PTFE-Hülsen oder weichem Silikon lagern – ideal sind Hybridsätze aus unverklebten FeBSi-Bändern für schnelles Einfangen und endform-wasserstoffgeglühtem HyMu-80 für kleine Restwinkel.

Satelliten, die für spätere freie Ausrichtung auf Permanentmagnete verzichten, bremsen ihren Drall aktiv mit dem B-Dot-Regelgesetz und steuern dreiachsige PCB-Magnetorquer gemäß m = clip(−k·Ḃ_B, −m_max, +m_max) direkt aus zeitlichen Magnetometer-Differenzen im Körperkoordinatensystem – ganz ohne Lage- oder Drehratenschätzung. Wegen Ḃ_B ≈ −ω × B_B für Drehraten deutlich über der Bahnbewegung ist die Rotationsleistungsänderung dT/dt = ω · (m × B) = −k·‖B‖²·‖ω_⊥‖² ≤ 0 streng nichtpositiv, solange eine Komponente senkrecht zu B_⊕ existiert; geneigte Bahnen drehen B_⊕ fortlaufend und entleeren so alle drei Achsen.

Obwohl Innenlagen-Spulen auf 42 × 42 mm kleine Dipole liefern (0,005–0,015 A·m² gegenüber 0,05–0,2 A·m² beim 1U), ist das 1P-Trägheitsmoment ~22-mal geringer (1,0 × 10⁻⁴ gegenüber 2,2 × 10⁻³ kg·m²). In Runge–Kutta-Simulationen vierter Ordnung aus lib/physics/bdot.ts (500 km, 97,4°-SSO, gekippter Dipol B₀ = 31,2 µT) ab 9,6 °/s ([6, −5, 5,5] °/s) entdrallt ein 1P mit 0,005-A·m²-Spulen in ~1 Orbit – passend zum Flugnachweis von POQUITO ab 20 °/s innerhalb eines Umlaufs –, während die /lab/bdot-Referenz (0,012 A·m² ab 25 °/s) nach 47,2 Minuten unter 1 °/s fällt und nahe der doppelten Bahnwinkelgeschwindigkeit 2·n ≈ 0,13–0,19 °/s (n ≈ 0,063 °/s) einschwingt.

Flugtaugliche B-Dot-Firmware schaltet die Spulen vor jeder Magnetometermessung kurz stromlos, tastet mit 5–10 Hz ab, um bis zu 180 °/s Auswurfrate ohne 1-Hz-Aliasing zu erfassen, nutzt Modushysterese (Ausstieg unter 1 °/s, Wiedereinstieg über 3 °/s) und prüft alle Vorzeichen im Helmholtz-Käfig, damit kein Verpolungsfehler den Satelliten hochdreht. Nach dem Abbremsen übergeben 2P–3P-Busse an Sonnensensoren, MEMS-Kreisel, TRIAD/QUEST- oder multiplikative EKF-Schätzer sowie Miniatur-Reaktionsräder (7 g, 25 mW; der 3P Unicorn-2 erreichte ~5° Ausrichtgenauigkeit und 24 m GSD Erdbeobachtung).