Passive magnetische Lageregelung für einen 1P: Auslegung von Magnet und Hysteresestäben

Warum die 50-mm-Baugröße Permanentmagnet und Dämpferstäbe verkoppelt

Eine passive magnetische Lageregelung (Passive Magnetic Attitude Control, PMAC) richtet eine Hauptachse des Satelliten über einen Permanentmagneten mit dem Dipolmoment $\mathbf{m}$ nach dem lokalen Erdmagnetfeld ${\mathbf{B}}_{\oplus }$ aus und dissipiert die kinetische Rotationsenergie in orthogonal dazu angeordneten weichmagnetischen Stäben oder Streifen[1]. In einem $1\text{U}$- oder $3\text{U}$-CubeSat lassen sich die Dämpferstäbe problemlos in $60\text{–}150\text{mm}$ Abstand zum Permanentmagneten unterbringen. Im Inneren eines $50\text{mm}$ großen $1\text{P}$-Würfels überschreitet der Einbauabstand $d$ hingegen selten $20\text{–}35\text{mm}$[2]. Da das magnetische Dipolstreufeld mit $d^{-3}$ anwächst, treibt ein überdimensionierter Permanentmagnet die Hysteresestäbe in die magnetische Sättigung und bringt die Rotationsdämpfung vollständig zum Erliegen[3].

Schritt 1: Auslegung des Permanentdipols

Für eine maximal zulässige Ausrichtungsabweichung ${\theta }_{\max }$ unter dem ungünstigsten Umweltstörmoment $T_{\text{dist}}$ bei minimaler magnetischer Flussdichte auf der Umlaufbahn $B_{\min }$ (rund $23\mu \text{T}$ am magnetischen Äquator in $525\text{km}$ Höhe) und einem Sicherheitsfaktor $k_m\approx 10$ beträgt das erforderliche Dipolmoment[1]:

Störung	Drehmoment (nN·m)	Erforderliches Moment (A·m²)
Aerodynamic, ρ = 1 × 10⁻¹² kg/m³	1,6	0,005
Aerodynamic, ρ = 5 × 10⁻¹² kg/m³	7,9	0,023
Residual dipole 1 × 10⁻³ A·m² in 30 µT	30,0	0,086
CSSWE 3U CubeSat, for comparison	100,0	0,288

1P in 500 km Höhe: 25 cm² projizierte Fläche, Widerstandsbeiwert 2,2, 7,6 km/s, 1 cm Schwerpunktversatz.

Für einen $1\text{P}$-PocketQube mit entfalteter UHF-Bandstahlantenne erfordert das aerodynamische Störmoment bei moderater Sonnenaktivität lediglich ein Dipolmoment von $m\approx 0.015\text{–}0.030\text{A}\cdot {\text{m}}^2$ – das entspricht einem winzigen AlNiCo-5- oder SmCo-Zylinder von wenigen Millimetern Abmessung[4].

Schritt 2: Streufeldkopplung und Mindestabstand

Entlang eines senkrecht zur Magnetachse im seitlichen Abstand $d$ und mit axialem Versatz $\delta$ zur Dipolmittelebene montierten Dämpferstabs erreicht die axiale Komponente des Streufelds ihr Maximum bei[2]:

Moment (A·m²)	Äquatorial, 20 mm	Axial, 20 mm	Äquatorial, 45 mm	Zulässiger Stabversatz bei 20 mm (mm)	Zulässiger Stabversatz bei 45 mm (mm)
0,02	199	398	17	2,2	Beliebig
0,10	995	1.989	87	0,44	13,2
0,31	3.084	6.167	271	0,14	3,7
0,91	9.052	18.104	795	0,05	1,2

Zulässiger Versatz: größter Abstand eines Stabs von der Magnetmittelebene, bei dem das axiale Streufeld unter dem äquatorialen Erdfeld (18,6 A/m) bleibt.

Damit die Hystereseschleife beim Taumeln des Satelliten im Erdmagnetfeld ${\mathbf{B}}_{\oplus }$ ungesättigt durchlaufen werden kann, muss die Axialkomponente des Magnetstreufelds entlang des Stabs deutlich unterhalb der scheinbaren Sättigungsfeldstärke $H_{\text{sat,app}}=N_d{J}_s/{\mu }_0$ des Stabs bleiben.

Schritt 3: Formentmagnetisierung und Entdrallungszeit

Kurze Stäbe erfahren im Inneren ein starkes entmagnetisierendes Eigenfeld. Für einen Zylinder mit dem Längen-Durchmesser-Verhältnis (Schlankheitsgrad) $p=L/D$ zeigen der magnetometrische Entmagnetisierungsfaktor nach Sato und Ishii[5] sowie die geschlossene Prismenformel von Aharoni[6], wie der Faktor $N_d$ die intrinsische $B\text{-}H$-Hystereseschleife flachschert:

Element	N	Scheinbare Sättigung N·Mₛ (A/m)	Spitzenpolarisation (mT)	Verlust pro Zyklus (nJ)	Masse (g)	Gesättigt innerhalb (mm)
HyMu-80 rod, Ø 1 × 45 mm (1P limit)	9,75 × 10⁻³	5.742	3,7	0,51	0,31	11
HyMu-80 rod, Ø 1 × 95 mm (1U limit)	4,64 × 10⁻³	2.734	7,9	2,25	0,65	14
HyMu-80 rod, 0.2 × 0.2 × 33.5 mm (Grizu-263A)	2,82 × 10⁻³	1.660	12,9	0,067	0,012	17
Fe–B–Si strip, 25 µm × 5 × 45 mm	1,14 × 10⁻³	1.413	29,8	2,01	0,040	18
HyMu-80 strip, 25 µm × 5 × 45 mm	1,14 × 10⁻³	670	32,1	0,69	0,049	23

Angelegte Feldamplitude 30 A/m, idealisierte Rechteckschleife (Gl. 5–10).

Konfiguration	Trägheit (kg·m²)	Dämpfermasse (g)	Verlust pro Zyklus (nJ)	Entdrallungszeit (h)
1P, 250 g, four Ø 1 × 45 mm HyMu-80 rods	1,04 × 10⁻⁴	1,23	2,03	26
1U, 1.33 kg, four Ø 1 × 95 mm HyMu-80 rods	2,22 × 10⁻³	2,60	9,01	125
1P, 250 g, four Fe–B–Si strips	1,04 × 10⁻⁴	0,16	8,05	6,6
Grizu-263A, 237 g, twelve 0.2 mm HyMu-80 rods, no magnet bias	9,88 × 10⁻⁵	0,14	0,80	63

Orientierungsfaktor 0,6, homogene Würfelträgheit, angelegtes Feld 30 A/m.

Schritt 4: Asymptotisches Totband

Sobald die Drehrate in die Größenordnung der Bahnwinkelgeschwindigkeit abgeklungen ist, muss die Amplitude der Erdmagnetfeld-Schwingung $H_{\perp }$ quer zum Stab die Koerzitivfeldstärke $H_c$ des Werkstoffs übersteigen, um die Hystereseschleife überhaupt noch aufzusteuern. Unterhalb des Grenzwinkels ${\theta }_{\text{db}}\approx \arcsin (H_c/H_{\perp })$ verhält sich der Stab rein elastisch-reversibel, und die Librationsdämpfung setzt aus[1]:

Dämpferlegierung	Koerzitivfeldstärke (A/m)	H⊥ = 16 A/m	H⊥ = 30 A/m	H⊥ = 40 A/m
80% Ni–Fe (HyMu-80)	0,96	3,4°	1,8°	1,4°
Fe-based amorphous, annealed	3	10,8°	5,7°	4,3°
Grain-oriented Fe–3%Si, low	5	18,2°	9,6°	7,2°
Grain-oriented Fe–3%Si, high	10	38,7°	19,5°	14,5°

H⊥ ist das Erdmagnetfeld senkrecht zur Magnetachse.